Question

已知中心在原點(diǎn)的橢圓C：的一個(gè)焦點(diǎn)為，為橢圓C上一點(diǎn)，的面積為．
(1)求橢圓C的方程；
(2)是否存在平行于OM的直線，使得直線與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，且以線段AB為直徑的圓恰好經(jīng)過原點(diǎn)？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

(1)    (2) 直線存在，且所求的直線的方程為或．

解析試題分析：(1)因?yàn)闄E圓C的一個(gè)焦點(diǎn)為，
所以，則橢圓C的方程為，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/33/a/1n7i94.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，解得．
故點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1，4)．
因?yàn)镸(1，4)在橢圓上，所以，得，
解得或（不合題意，舍去），則．
所以橢圓C的方程為．
(2)假設(shè)存在符合題意的直線與橢圓C相交于，兩點(diǎn)，其方程為（因?yàn)橹本�OM的斜率，
由消去，化簡得．
進(jìn)而得到，．
因?yàn)橹本�與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，
所以，
化簡，得，解得．
因?yàn)橐跃�段AB為直徑的圓恰好經(jīng)過原點(diǎn)，
所以，所以．
又，
，
解得．由于，所以符合題意的直線存在，且所求的直線的方程為或．
考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，確定橢圓方程，正確運(yùn)用韋達(dá)定理是關(guān)鍵．