Question

【題目】已知.

（I）若，判斷函數在的單調性；

（II）設，對，有恒成立，求的最小值；

（III）證明：.

Answer 1

【答案】（I）在單調遞增；（II）2；（III）證明見解析.

【解析】

（1），函數，

．．根據，可得，而．即可得出單調性．

（2）由題意知，，對，，有恒成立．，設，由，可得時，單調遞增，又，，因此在內存在唯一零點，使，即，利用其單調性可得：，故，設，．利用導數研究其單調性即可得出所求的最小值．

（3）由可知時，（1），即：．設，可得，可得，求和利用對數的運算性質即可得出．

解：（1），函數，．

．

又，，而．

，

故在上單調遞增．

（2）由題意知，，對，，有恒成立．

，

設，則，

由于，故，

時，單調遞增，又，，

因此在內存在唯一零點，使，即，

且當，，，單調遞減；

，，，，單調遞增．

故，

故，

設，．

，

又設，，

故在上單調遞增，因此，即，在上單調遞增，

，，又，，

故所求的最小值為2．

（3）由（1）可知時，，即：

設，則

因此

即

,

得證．