Question

【題目】函數， （是自然對數的底數， ）．

（Ⅰ）求證： ；

（Ⅱ）已知表示不超過的最大整數，如， ，若對任意，都存在，使得成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ） ．

【解析】試題分析：

（Ⅰ）首先得出，求出導函數，由確定增區間， 確定減區間，從而確定出的最小值為，而，由此不等式得證；

（Ⅱ）此問題首先進行轉化，當時， 的最小值為，當時， 的最小值為，依題意有，而由（Ⅰ）知＝0，因此有，下面就是求出的最小值，即可得出的范圍，為此可求的導數.為了確定的正負，令，再求導，

而當時， ， ， 在上是增函數，所以.下面對按正負分類討論：

A①， 在上是增函數，最小值為；②，即時，因為在上是增函數，且，因此在上有一個零點，記為，

，即，這樣有當時， ，即；當時， ，即，所以， 在上是減函數，在上是增函數，所以，又，所以，所以，所以．由，可令，由此求出的范圍，即此時的范圍，綜合以上兩點可得．

試題解析：

（Ⅰ）（）.

當時， ，當時， ，

即在上單調遞減，在上單調遞增，

所以，當時， 取得最小值，最小值為，

所以，

又，且當時等號成立，

所以， .

（Ⅱ）記當時， 的最小值為，當時， 的最小值為，

依題意有，

由（Ⅰ）知，所以，則有，

.

令， ，

而當時， ，所以，

所以在上是增函數，所以.

①當，即時， 恒成立，即，

所以在上是增函數，所以，

依題意有，解得，

所以．

②當，即時，因為在上是增函數，且，

若，即，則，

所以，使得，即，

且當時， ，即；當時， ，即，

所以， 在上是減函數，在上是增函數，

所以，

又，所以，

所以，所以．

由，可令，

，當時， ，所以在上是增函數，

所以當時， ，即，

所以．

綜上，所求實數的取值范圍是．