Question

已知⊙C經過點A（2，4）、B（3，5）兩點，且圓心C在直線2x-y-2=0上．
（1）求⊙C的方程；
（2）若直線y=kx+3與⊙C總有公共點，求實數k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設圓的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，由⊙C經過點A（2，4）、B（3，5）兩點，且圓心C在直線2x-y-2=0上，構造關于D，E，F的三元一次方程組，解方程組后可得⊙C的方程；
（2）若直線y=kx+3與⊙C總有公共點，則聯立直線和圓的方程后，所得方程有根，即對應的△≥0，解不等式可得實數k的取值范圍

解答：解：（1）設圓的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，
則

22+42+2D+4E+F=0 32+52+3D+5E+F=0 2(- D 2 )-(- E 2 )-2=0

⇒

D=-6 E=-8 F=24

，…5分
所以⊙C方程為x²+y²-6x-8y+24=0．…6分
（2）：由

(x-3)2+(y-4)2=1 y=kx+3

⇒(1+k2)x2-(6+2k)x+9=0，…8分
因為直線y=kx+3與⊙C總有公共點，
則△=（6+2k）²-36（1+k²）≥0，…10分
解得0≤k≤

3

4

．…12分

點評：本題考查的知識點是圓的標準方程，直線與圓的位置關系，（1）的關鍵是根據已知構造方程組，（2）的關鍵是分析出聯立方程后，消元得到的方程有根．