Question

設有一顆彗星沿一橢圓軌道繞地球運行，地球恰好位于橢圓軌道的焦點處，當此彗星離地球相距m萬千米和m萬千米時，經過地球和彗星的直線與橢圓的長軸夾角分別為和，求該彗星與地球的最近距離．

 

Answer 1

m萬千米．

【解析】

試題分析：仔細分析題意，由橢圓的幾何意義可知：只有當該彗星運行到橢圓的較近頂點處時，彗星與地球的距離才達到最小值即為a﹣c，這樣把問題就轉化為求a，c或a﹣c．

【解析】
建立如圖所示直角坐標系，設地球位于焦點F（﹣c，0）處，

橢圓的方程為+=1，

當過地球和彗星的直線與橢圓的長軸夾角為時，

由橢圓的幾何意義可知，彗星A只能滿足∠xFA=（或∠xFA′=）．

作AB⊥Ox于B，則|FB|=|FA|=m，

故由橢圓的第二定義可得

m=（﹣c），①m=（﹣c+m）．②

兩式相減得m=•m，∴a=2c．

代入①，得m=（4c﹣c）=c，

∴c=m．∴a﹣c=c=m．

答：彗星與地球的最近距離為m萬千米．