Question

某種產品每件成本為6元，每件售價為x元（x＞6），年銷量為u萬件，若已知與成正比，且售價為10元時，年銷量為28萬件．

（1）求年銷售利潤y關于x的函數關系式．

（2）求售價為多少時，年利潤最大，并求出最大年利潤．

 

Answer 1

（1）y=﹣2x3+33x2﹣108x﹣108．

（2）售價為9元時，年利潤最大，最大年利潤為135萬元．

【解析】

試題分析：（1）根據題中條件：“若已知與成正比”可設，再依據售價為10元時，年銷量為28萬件求得k值，從而得出年銷售利潤y關于x的函數關系式．

（2）利用導數研究函數的最值，先求出y的導數，根據y′＞0求得的區間是單調增區間，y′＜0求得的區間是單調減區間，從而求出極值進而得出最值即可．

【解析】
（1）設，

∵售價為10元時，年銷量為28萬件；

∴，解得k=2．

∴=﹣2x2+21x+18．

∴y=（﹣2x2+21x+18）（x﹣6）=﹣2x3+33x2﹣108x﹣108．

（2）y'=﹣6x2+66x﹣108=﹣6（x2﹣11x+18）=﹣6（x﹣2）（x﹣9）

令y'=0得x=2（∵x＞6，舍去）或x=9

顯然，當x∈（6，9）時，y'＞0當x∈（9，+∞）時，y'＜0

∴函數y=﹣2x3+33x2﹣108x﹣108在（6，9）上是關于x的增函數；

在（9，+∞）上是關于x的減函數．

∴當x=9時，y取最大值，且ymax=135．

∴售價為9元時，年利潤最大，最大年利潤為135萬元．