Question

求函數(shù)y=（sinx-2）（cosx-2）的最大值和最小值．

Answer 1

分析：函數(shù)化成y=sinxcosx-2（sinx+cosx）+4，利用sinx+cosx與sinx•cosx之間的關(guān)系，進行換元將函數(shù)轉(zhuǎn)化成關(guān)于sinx+cosx的二次函數(shù)來解，即可得到函數(shù)的最大值和最小值．

解答：解：y=（sinx-2）（cosx-2）=sinxcosx-2（sinx+cosx）+4
令t=sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

）∈[-

2

，

2

]，
則sinxcosx=

1

2

（t²-1）
y=

1

2

t²-2t+

7

2

=

1

2

（t-2）²+

3

2

，其中t∈[-

2

，

2

]，
∴當t=-

2

時，即x=

5π

4

+2kπ（k∈Z）時，函數(shù)的最大值為

9

2

+2

2

當t=

2

時，即x=

π

4

+2kπ（k∈Z）時，函數(shù)的最小值為

9

2

-2

2

綜上所述：函數(shù)的最大值為

9

2

+2

2

，函數(shù)的最小值為

9

2

-2

2

點評：本題主要考查了兩角和公式的化簡求值，二次函數(shù)的性質(zhì)．此題考查的是換元法，轉(zhuǎn)化思想，在換元時要注意變量的取值范圍．