Question

【題目】在單調(diào)遞增數(shù)列{an}中，a1=2，a2=4，且a2n﹣1 ， a2n ， a2n+1成等差數(shù)列，a2n ， a2n+1 ， a2n+2成等比數(shù)列，n=1，2，3，…． （Ⅰ）（ⅰ）求證：數(shù)列 為等差數(shù)列；
（ⅱ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列 的前n項(xiàng)和為Sn ， 證明：Sn＞ ，n∈N* ．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（ⅰ）證明：因?yàn)閿?shù)列{an}為單調(diào)遞增數(shù)列，a1=2＞0， 所以an＞0（n∈N*）．
由題意得2a2n=a2n﹣1+a2n+1 ， ，
于是 ，
化簡(jiǎn)得 ，
所以數(shù)列 為等差數(shù)列．
（ⅱ）解：因?yàn)閍3=2a2﹣a1=6， ，
所以數(shù)列 的首項(xiàng)為 ，公差為 ，
所以 ，從而 ．
結(jié)合 ，可得a2n﹣1=n（n+1）．
因此，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)an= ，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)an= ．﹣﹣﹣﹣﹣
（Ⅱ）證明：通過(guò)（ii）可知 = ．
因?yàn)閍n= ，
所以 ，
∴ +…

= ，
所以 ，n∈N* ．
【解析】（Ⅰ）（ⅰ）通過(guò)題意可知2a2n=a2n﹣1+a2n+1、 ，化簡(jiǎn)即得結(jié)論；（ⅱ）通過(guò)計(jì)算可知數(shù)列 的首項(xiàng)及公差，進(jìn)而可得結(jié)論；（Ⅱ）通過(guò)（ii）、放縮、裂項(xiàng)可知 ＞4（ ﹣ ），進(jìn)而并項(xiàng)相加即得結(jié)論．