Question

如圖，正四面體A-BCD的棱長為2

2

，且M，N分別為AB、CD的中點．
（1）求MN和BD所成角的大��；
（2）求BN與DM所成角的大小；
（3）求該四面體的外接球的體積．

Answer 1

分析：把正四面體A-BCD放入如圖正方體中，則正方體棱長為2．以A為原點建立坐標系求出個頂點坐標，
（1）得到

MN

，

BD

的坐標，再代入向量夾角的計算公式即可求出結論；
（2）得到

BN

，

DM

的坐標，再代入向量夾角的計算公式即可求出結論；
（3）根據正四面體的外接球就是正方體的外接球，而且正方體的對角線長為2

3

，就是外接球的直徑即可求出四面體的外接球的體積．

解答：解：把正四面體A-BCD放入如圖正方體中，則正方體棱長為2．以A為原點建立坐標系，則A（0，0，0，），B（2，2，0）M（1，1，0），D（2，0，2），N（1，1，2）．
（1）∵

MN

=(0，0，2)，

BD

=(0，-2，2)．
∴cos?

MN

，

BD

＞=

4

2•2 2

=

2

2

，、
∴MN和BD所成角的大小為

π

4

．
（2）∵

BN

=(-1，-1，2)，

MD

=(1，-1，2)．
∴cos?

BN

，

MD

＞=

4

6 • 6

=

2

3

．
∴BN與DM所成角大小為arccos

2

3

．
（3）該正四面體的外接球就是正方體的外接球，正方體的對角線長為2

3

，就是外接球的直徑，
∴外接球的半徑為

3

，體積為4

3

π．

點評：本題主要考察用空間向量求直線間的夾角、距離．在處理空間問題不好解決時，常常把他們放在空間幾何體中來直觀的分析，正方體是最常用的空間模型，大家一定要熟練掌握這種方法．