Question

如圖，正四面體ABCD中，E在棱AB上，F(xiàn)在棱CD上，使得

AE

EB

=

CF

FD

=λ （0＜λ＜+∞），記f（λ）=α_λ+β_λ其中α_λ表示EF與AC所成的角，β_λ表示EF與BD所成的角，則（　　）

A．f（λ）在（0，+∞）單調(diào)增加

B．f（λ）在（0，+∞）單調(diào)減少

C．f（λ） 在（0，1）單調(diào)增加，而在（1，+∞單調(diào)減少

D．f（λ）在（0，+∞）為常數(shù)

Answer 1

分析：根據(jù)α_λ表示EF與AC所成的角，β_λ表示EF與BD所成的角，證明AC⊥BD，可得結(jié)論．

解答：解：作EG∥AC交BC于G，連GF，

則

AE

EB

=

CG

GB

=

CF

FD

，故GF∥BD
∴∠GEF=α_λ，∠GFE=β_λ，
取BD的中點(diǎn)M，連接AM，CM，∵ABCD是正四面體，∴BD⊥AM，BD⊥CM，
∵AM∩CM=M，∴BD⊥平面ACM
∵AC?平面ACM
∴AC⊥BD，∴∠EGF=90°
故f（λ）=）=α_λ+β_λ=∠GEF+∠GFE=90°，即為常數(shù)．
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查空間角的計(jì)算，考查線面垂直，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于基礎(chǔ)題．