Question

（2013•紹興一模）如圖，正四面體ABCD的頂點C在平面α內，且直線BC與平面α所成角為45°，頂點B在平面α上的射影為點O，當頂點A與點O的距離最大時，直線CD與平面α所成角的正弦值等于（　　）

• A．

  6 +3 2

  12

• B．

  2 2 +1

  5

• C．

  6 + 2

  4

• D．

  5+2 2

  12

Answer 1

分析：由題意，可得當O、B、A、C四點共面時頂點A與點O的距離最大，設此平面為β．由面面垂直判定定理結合BO⊥α，證出β⊥α．過D作DE⊥α于E，連結CE，根據面面垂直與線面垂直的性質證出DH∥α，從而點D到平面α的距離等于點H到平面α的距離．設正四面體ABCD的棱長為1，根據BC與平面α所成角為45°和正四面體的性質算出H到平面α的距離，從而在Rt△CDE中，利用三角函數的定義算出sin∠DCE=

6 +3 2

12

，即得直線CD與平面α所成角的正弦值．

解答：解：∵四邊形OBAC中，頂點A與點O的距離最大，
∴O、B、A、C四點共面，設此平面為β
∵BO⊥α，BO?β，∴β⊥α
過D作DH⊥平面ABC，垂足為H，
設正四面體ABCD的棱長為1，則Rt△HCD中，CH=

3

3

BC=

3

3

∵BO⊥α，直線BC與平面α所成角為45°，
∴∠BCO=45°，結合∠HCB=30°得∠HCO=75°
因此，H到平面α的距離等于HCsin75°=

3

3

×

6 + 2

4

=

6 +3 2

12

過D作DE⊥α于E，連結CE，則∠DCE就是直線CD與平面α所成角
∵DH⊥β，α⊥β且DH?α，∴DH∥α
由此可得點D到平面α的距離等于點H到平面α的距離，即DE=

6 +3 2

12

∴Rt△CDE中，sin∠DCE=

DE

CD

=

6 +3 2

12

，即直線CD與平面α所成角的正弦值等于

6 +3 2

12

故選：A

點評：本題給出正四面體的一條棱與平面α成45°，在頂點A與B在平面α內的射影點O的距離最大時，求直線CD與平面α所成角的正弦值，著重考查了線面垂直、面面垂直的判定與性質和直線與平面所成角的定義與求法等知識，屬于中檔題．