Question

【題目】若函數f（x）=lnx﹣x﹣mx在區間[1，e2]內有唯一的零點，則實數m的取值范圍是 ．

Answer 1

【答案】[﹣1, ﹣1）∪{ ﹣1}
【解析】解：函數f（x）=lnx﹣x﹣mx在區間[1，e2]內有唯一的零點，

得﹣x+lnx=mx，又x＞0，所以m= ﹣1，

要使方程lnx﹣x﹣mx=0在區間[1，e2]上有唯一實數解，

只需m= ﹣1有唯一實數解，

令g（x）= ﹣1，（x＞0），∴g′（x）= ，

由g′（x）＞0，得0＜x＜e；g′（x）＜0得x＞e，

∴g（x）在區間[1，e]上是增函數，在區間[e，e2]上是減函數．

g（1）=﹣1，g（e）= ﹣1，g（e2）= ﹣1，

故﹣1≤m＜ ﹣1或m= ﹣1

所以答案是：[﹣1， ﹣1）∪{ ﹣1}．

【考點精析】利用函數的極值與導數和函數的零點與方程根的關系對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值；二次函數的零點：（1）△＞0，方程 有兩不等實根，二次函數的圖象與 軸有兩個交點，二次函數有兩個零點;（2）△＝0，方程 有兩相等實根（二重根），二次函數的圖象與 軸有一個交點，二次函數有一個二重零點或二階零點;（3）△＜0，方程 無實根，二次函數的圖象與 軸無交點，二次函數無零點．