Question

已知數列的各項都是正數，且對任意都有，其中為數列的前項和.
（1）求、；
（2）求數列的通項公式；
（3）設，對任意的，都有恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

（1），；（2）；（3）.

試題分析：（1）分別令和代入題干中的等式求出和的值；（2）利用定義法進行求解，在原式中利用替換得到，將此等式與原式作差得到
，再次利用定義法得到數列為等差數列，最后利用等差數列的通項公式進行求解；（3）利用化簡得到，對進行分奇偶討論求出的取值范圍.
試題解析：（1）令，則，即，所以或或，
又因為數列的各項都是正數，所以，
令，則，即，解得或或，
又因為數列的各項都是正數，所以，
（2），          ①
， ②
由①②得，
化簡得到， ③
，④
由③④得，
化簡得到，即，
當時，，所以，
所以數列是一個以為首項，為公差的等差數列，
；
（3），
因為對任意的，都有恒成立，即有，
化簡得，
當為奇數時，恒成立，，即，
當為偶數時，恒成立，，即，
，故實數的取值范圍是.