Question

已知函數f(x)=

1

4x+2

(x∈R），若x₁+x₂=1，則f（x₁）+f（x₂）=

1

2

；若n∈N^*，則f(

1

n

)+f(

2

n

)+…+f(

n-1

n

)+f(

n

n

)=

n

4

-

1

12

．

Answer 1

分析：由已知中函數f(x)=

1

4x+2

(x∈R），我們結合x₁+x₂=1，可得f（x₁）=

1

4x1+2

，f（x₂）=

1

4(1-x1)+2

，代入計算即可得到f（x₁）+f（x₂）的值，進而根據結論，利用分組求和法，即可求出f(

1

n

)+f(

2

n

)+…+f(

n-1

n

)+f(

n

n

)的值．

解答：解：∵函數f(x)=

1

4x+2

(x∈R），
∴f（x₁）=

1

4x1+2

又∵x₁+x₂=1，x₂=1-x₁，
∴f（x₂）=

1

4(1-x1)+2

f（x₁）+f（x₂）=

1

4x1+2

+

1

4(1-x1)+2

=

2

2•4x1+4

+

4x1

4 +2•4x1

=

2+4x1

4 +2•4x1

=

1

2

∴f(

1

n

)+f(

2

n

)+…+f(

n-1

n

)+f(

n

n

)
=[f(

1

n

)+f(

n-1

n

)]+[f(

2

n

)+f(

n-1

n

)]+…+f(

n

n

)
=

n-1

2

•

1

2

+f(1)
=

n

4

-

1

12

故答案為：

1

2

；

n

4

-

1

12

．

點評：本題考查的知識點是求函數的值，數列求和，其中求出當x₁+x₂=1時，f（x₁）+f（x₂）=

1

2

，是解答本題的關鍵．