Question

實數a為何值時，圓x²+y²-2ax+a²-1=0與拋物線y2=

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x有兩個公共點．

Answer 1

分析：利用圓x²+y²-2ax+a²-1=0與拋物線y2=

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x有兩個公共點，聯立方程，根據根的判別式，結合圖象的變換，即可求a的值．

解答：解：由x²+y²-2ax+a²-1=0，可得標準方程為：（x-a）²+y²=1
由此可知，這是一個圓心在（a，0），半徑恒為1的圓；參數a只影響圓心的位置，與半徑大小無關．
當a=0時，該圓變成圓心在原點，半徑為1的單位圓：x²+y²=1，其與拋物線y2=

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x當然會有兩個交點．
將拋物線y2=

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x代入圓的方程，得：x²+（

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-2a）x+a²-1=0…（1）
令其判別式△=（

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-2a）²-4（a²-1）=0，得a=

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，此時圓與拋物線有兩個公共點；
將圓心在x軸上向左移動到a=-1時，圓的方程變為（x+1）²+y²-1=x²+y²+2x=0
將y2=

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x代入得x（x+

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）=0，可知圓與拋物線有唯一的一個交點x=0，（x=-

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舍去，因為x=-

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不在拋物線的定義域內）．
綜上，當-1＜a≤

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時，圓x²+y²-2ax+a²-1-0與拋物線y2=

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x有兩個公共點．

點評：本題考查圓與拋物線的位置關系，考查學生的計算能力，屬于中檔題．