Question

直線l：y=ax+1與雙曲線C：3x²-y²=1相交于A，B兩點．
（1）a為何值時，以AB為直徑的圓過原點；
（2）是否存在這樣的實數a，使A，B關于直線x-2y=0對稱，若存在，求a的值，若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）把直線l的方程與雙曲線的方程聯立消去y，根據判別式大于0求得a的范圍，根據OA⊥OB，推斷出y₁y₂=-x₁x₂．根據韋達定理表示出x₁x₂．進而根據直線方程表示出y₁y₂，代入y₁y₂=-x₁x₂．求得a．
（2）假設這樣的點A，B存在，進而可知直線l的斜率，把AB的中點代入直線y=x中求得y₁+y₂和x₁+x₂的關系，進而根據（1）中的韋達定理表示出x₁+x₂，聯立方程求得a，看結果是否與a=-2矛盾即可．
解答：解：（1）聯立方程ax+1=y與3x²-y²=1，消去y得：（3-a²）x²-2ax-2=0（*）
又直線與雙曲線相交于A，B兩點，3-a²≠0，所以a≠±，∴．
又依題OA⊥OB，令A，B兩點坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），則y₁y₂=-x₁x₂．
且y₁y₂=（ax₁+1）（ax₂+1）=a²x₁x₂+a（x₁+x₂）+1=-x₁x₂⇒x₁x₂（1+a²）+a（x₁+x₂）+1=0，而由方程（*）知：，代入上式得．滿足條件．
（2）假設這樣的點A，B存在，則l：y=ax+1斜率a=-2．又AB中點，在上，則，
又y₁+y₂=a（x₁+x₂）+2，
代入上式知這與a=-2矛盾．
故這樣的實數a不存在．
點評：本題主要考查了雙曲線的簡單性質，直線與雙曲線的位置關系．考查了學生綜合分析問題和推理的能力，基本的運算能力．