Question

已知直線l：y=ax+1與雙曲線C：3x²-y²=1相交于A、B兩點(diǎn)．
（1）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）當(dāng)實(shí)數(shù)a取何值時(shí)，以線段AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)．

Answer 1

分析：（1）把直線與雙曲線方程聯(lián)立消去y，利用二次項(xiàng)非0，且判別式大于0求得a的范圍．
（2）把直線l的方程與雙曲線的方程聯(lián)立消去y，根據(jù)判別式大于0求得a的范圍，根據(jù)OA⊥OB，推斷出y₁y₂=-x₁x₂．根據(jù)韋達(dá)定理表示出x₁x₂．進(jìn)而根據(jù)直線方程表示出y₁y₂，代入y₁y₂=-x₁x₂．求得a．

解答：解（1）聯(lián)立方程組

3x2-y2=1 y=ax+1

，得(3-a2)x2-2ax-2=0．  …（2分）
∵直線l與曲線C有兩個(gè)交點(diǎn)A、B，
∴

3-a2≠0 △=4a2-4(3-a2)(-2)＞0

，即

a2≠3 a2＜6

．            …（4分）
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是-

6

＜a＜

6

且a≠±

3

．      …（5分）
（2）設(shè)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)為（x₁，y₁）、（x₂，y₂）．            …（6分）
由（1）可知，

x1+x2= 2a 3-a2 x1x2= -2 3-a2

．
∵以線段AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，
∴

OA

⊥

OB

，即x₁x₂+y₁y₂=0．                         …（8分）
又y₁=ax₁+1，y₂=ax₂+1，
∴x₁x₂+（ax₁+1）（ax₂+1）=0，
即(a2+1)•

-2

3-a2

+a•

2a

3-a2

+1=0，解得a=±1（都滿足（1）求出的條件）    …（11分）
∴a=±1時(shí)，以線段AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)．    …（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，直線與雙曲線的位置關(guān)系．考查了學(xué)生綜合分析問(wèn)題和推理的能力，基本的運(yùn)算能力．