已知圓A過點,且與圓B:
關于直線
對稱.
(1)求圓A的方程;
(2)若HE、HF是圓A的兩條切線,E、F是切點,求的最小值。
(3)過平面上一點向圓A和圓B各引一條切線,切點分別為C、D,設
,求證:平面上存在一定點M使得Q到M的距離為定值,并求出該定值.
(1) (2)
(3)
解析試題分析:(1)求圓的方程即找到圓心和半徑. 由圓的標準方程可看出圓B的圓心, 圓A 與圓B 關于直線對稱可求出圓A的圓心.再由圓A 通過過點通過兩點距離公式求出半徑可求出圓A的標準方程.
(2) 求的最小值最好用一個變量來表示,
表示長度和夾角都與
長度有關,所以設
,則由切割弦定理得
,在直角三角形
中
,則由二倍角公式可得
,由數量積公式得
,利用均值定理可求出最小值.
(3)切線長用
到點
距離和半徑表示出來,再根據
得到關于
一個方程
可知
軌跡是一個圓,所以存在一個定點
到
的距離為定值.
試題解析:
(1)設圓A的圓心A(a,b),由題意得:解得
,
設圓A的方程為,將點
代入得r=2
∴圓A的方程為: (4分)
(2)設,
,
則
當且僅當即
時取等號,∴
的最小值為
(9分)
(3)由(1)得圓A的方程為:,圓B:
,由題設得
,即
,
∴化簡得:
∴存在定點M(
)使得Q到M的距離為定值
. (14分)
考點:直線與圓的位置關系;圓關于點、直線對稱的圓方程;圓的標準方程;平面向量數量積的運算.
科目:高中數學 來源: 題型:解答題
已知以點C (t∈R,t≠0)為圓心的圓與x軸交于點O,A,與y軸交于點O,B,其中O為原點.
(1)求證:△AOB的面積為定值;
(2)設直線2x+y-4=0與圓C交于點M,N,若|OM|=|ON|,求圓C的方程;
(3)在(2)的條件下,設P,Q分別是直線l:x+y+2=0和圓C上的動點,求|PB|+|PQ|的最小值及此時點P的坐標..
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科目:高中數學 來源: 題型:解答題
已知圓心為C的圓,滿足下列條件:圓心C位于x軸正半軸上,與直線3x-4y+7=0相切,且被軸截得的弦長為
,圓C的面積小于13.
(Ⅰ)求圓C的標準方程;
(Ⅱ)設過點M(0,3)的直線l與圓C交于不同的兩點A,B,以OA,OB為鄰邊作平行四邊形OADB.是否存在這樣的直線l,使得直線OD與MC恰好平行?如果存在,求出l的方程;如果不存在,請說明理由.
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科目:高中數學 來源: 題型:解答題
已知圓C:,其中
為實常數.
(1)若直線l:被圓C截得的弦長為2,求
的值;
(2)設點,0為坐標原點,若圓C上存在點M,使|MA|="2" |MO|,求
的取值范圍.
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科目:高中數學 來源: 題型:解答題
已知點和圓
:
.
(Ⅰ)過點的直線
被圓
所截得的弦長為
,求直線
的方程;
(Ⅱ)若的面積
,且
是圓
內部第一、二象限的整點(平面內橫、縱坐標均為整數
的點稱為整點),求出點的坐標.
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科目:高中數學 來源: 題型:解答題
已知動點M到定點
與到定點
的距離之比為3.
(Ⅰ)求動點M的軌跡C的方程,并指明曲線C的軌跡;
(Ⅱ)設直線,若曲線C上恰有兩個點到直線
的距離為1,
求實數的取值范圍。
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