Question

已知函數f(x)=

ex+1

ex-1

．
（Ⅰ）求f（x）的反函數f^-1（x）；
（Ⅱ）討論f（x）的奇偶性．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由給出的函數解析式求出函數的值域，再由解析式解出x，即把x用含有y的代數式表示，最后把x和y互換即可；
（Ⅱ）函數的定義域關于原點對稱，然后直接利用判斷函數奇偶性的定義，換x為-x整理即可．

解答：解：（Ⅰ）由y=

ex+1

ex-1

，得ye^x-y=e^x+1，
從而ye^x-e^x=y+1，（y-1）e^x=y+1，∴ex=

y+1

y-1

．
由ex=

y+1

y-1

＞0，得y＜-1，或y＞1．
再由ex=

y+1

y-1

，得x=ln

y+1

y-1

(y＜-1，或y＞1)，
∴f-1(x)=ln

x+1

x-1

（x＜-1或x＞1）．
（Ⅱ）f(x)=

ex+1

ex-1

中，∵e^x-1≠0，∴x≠0．∴函數f（x）的定義域為{x|x≠0}，它關于原點對稱．
∵f(-x)=

e-x+1

e-x-1

=

(e-x+1)•ex

(e-x-1)•ex

=

1+ex

1-ex

=-

ex+1

ex-1

=-f(x)，
∴函數f（x）是奇函數．

點評：本題考查了函數反函數的求法，考查了函數奇偶性的判斷，求一個函數的反函數，一定不要忘記注函數的定義域，即原函數的值域，判斷函數的奇偶性，前提是定義域關于原點對稱，此題是中檔題．