Question

如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是矩形，側面PAB是正三角形，AB=2，BC=

2

，PC=

6

，
（Ⅰ）求證：PD⊥AC；
（Ⅱ）已知棱PA上有一點E，若二面角E-BD-A的大小為45°，試求BP與平面EBD所成角的正弦值．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,空間中直線與直線之間的位置關系

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）首先利用已知條件求出相關的線段長，進一步簡零件直角坐標系，利用向量垂直的充要條件求出線線垂直．
（Ⅱ）利用題中的垂直求出相關平面的法向量，再利用向量的共線，向量的數量積求出，線面的夾角所成的正弦值．

解答： （Ⅰ）證明：取AB的中點H，由于△PAB是正三角形，AB=2，
得：PH⊥AB，且PH=

3

，
已知底面ABCD是矩形，則：AB=2，BC=

2

，
所以：HC=

3

，又因為：PC=

6

，
所以：PH²+HC²=PC²，
所以：PH⊥HC．
設AC與BD相交于D，以H為原點，HA，HO，HP為X、y、z軸建立空間直角坐標系，
則：A=（1，0，0），B=（-1，0，0），D=（1，

2

，0），C=（-1，

2

，0），p=（0，0，

3

），
所以：

PD

=(1，

2

，-

3

)，

AC

=(-2，

2

，0)，
所以：

PD

•

AC

=0，
即PD⊥AC；
（Ⅱ）E為PA上一點，不妨設

AE

=λ

AP

（0＜λ＜1），
則：E的坐標為：（1-λ，0，

3

λ），
所以：

BE

=(2-λ，0，

3

λ)，

BD

=(2，

2

，0)，
設

n

=(x，y，z)為平面EBD的法向量，
則可求得：

n

=(-

6

λ，2

3

λ，2

2

-

2

λ)，
又由于平面ABD的法向量為：

HP

=(0，0，

3

)，
已知二面角E-BD-A的大小為45°，
則cos45°=|cos＜

n

，

HP

＞|=|

HP • n

| HP |•| n |

|=

|2 6 - 6 λ|

20λ2-8λ+8 • 3

=

2

2

，
整理得：2λ²+λ-1=0，
由于0＜λ＜1，
所以：λ=

1

2

．
設θ為BP和平面EBD的夾角，
所以：sinθ=cos＜

BP

，

n

＞=

6

6

，
則：BP與平面EBD所成角的正弦值為

6

6

．

點評：本題考查的知識要點：空間直角坐標系，法向量，向量的共線問題，向量的數量積，線面的夾角問題．屬于中檔題型．