Question

定義函數f_K（x）=

f(x)，  f(x) ＞K K， f(x) ≤ K

（K為給定常數），已知函數f（x）=

5

2

x2-3x2lnx，若對于任意的x∈（0，+∞），恒有f_K（x）=K，則實數K的取值范圍為

[

3

2

e

2

3

，+∞)

．

Answer 1

分析：利用導數即可得出函數f（x）在（0，+∞）的最大值，進而得到k的取值范圍．

解答：解：當x＞0時，f′（x）=5x-（6xlnx+3x）=2x（1-3lnx），
令f′（x）＞0，解得0＜x＜e

1

3

，函數f（x）單調遞增；
令f′（x）＜0，解得x＞e

1

3

，函數f（x）單調遞減．
因此當x=e

1

3

時，函數f（x）取得最大值f(e

1

3

)=

5

2

e

2

3

-3×e

2

3

×

1

3

=

3

2

e

2

3

．
故當k≥

3

2

e

2

3

時，對于任意的x∈（0，+∞），恒有f_K（x）=K．
故答案為[

3

2

e

2

3

，+∞)．

點評：熟練掌握利用導數研究函數的單調性、極值與最值、理解新定義等是解題的關鍵．