Question

【題目】如圖1，在直角梯形中，，，，，，為上一點，且，過作交于，現將沿折到，使，如圖2.

（1）求證：平面

（2）在線段上是否存在一點，使與平面所成的角為？若存在，確定點的位置；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）不存在，理由見解析

【解析】

(1)解法一:由,,推出平面,即有平面,故,結合即可推出平面;解法二:建立空間直角坐標系,利用向量推出結論;

(2)由(1)知平面,故以所在的直線為軸,以所在的直線為軸,在平面內過作的垂線,以垂線所在直線為軸,建立空間直角坐標系,設是線段上一點,則存在,使,再利用向量,結合線面角公式列式求解即可.

(1)解法一:

∵,,,

由余弦定理得,

∵,∴,

又直角梯形中,,

∴,,,

則平面,

又∵,∴平面,∴,

又因為直線,在平面內,且相交于,∴平面.

解法二:

以為,,且,

則平面,所以平面平面,

以所在的直線為軸,以所在的直線為軸,在平面內過作

的垂線,以垂線所在直線為軸,建立空間直角坐標系,如圖所示:

則,,,,

∴,,,

∴,,

∴,

∴,,

∵,是平面內的相交直線,

∴平面.

(2)由(1)知平面,∴平面平面,

以所在的直線為軸,以所在的直線為軸,在平面內過作的垂線,以垂線所在直線為軸,建立空間直角坐標系,如圖所示:

則,,,,

則,,

∵平面,∴平面的一個法向量為,

設是線段上一點,則存在,使,

∴,

,

如果直線與平面所成的角為,

那么,即,

解得,此方程在內無解,

所以在線段上不存在一點,使與平在所成的角為.