Question

如圖，在平面直角坐標系中，△ABC內接于⊙O，其中AB為⊙O直徑，A（1，3），B（-3，0），C（1，0）．
（1）請在x軸上找一點D，使得△BDA與△BAC相似（不包含全等），并求出點D的坐標；
（2）在（1）的條件下，如果P，Q分別是BA，BD上的動點，連接PQ，設BP=DQ=m．問是否存在這樣的m，使得△BPQ與△BDA相似？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：直線和圓的方程的應用

專題：計算題,直線與圓

分析：（1）根據條件先判斷△ABD中，∠BAD為直角，再由三角形相似的性質可得，對應邊成比例，即可解得D的坐標；
（2）假設存在這樣的m，使得△BPQ與△BDA相似．運用相似的性質對應邊成比例，得到m的方程，解得即可判斷．

解答： 解：（1）由于△ABC為直角三角形，且C為直角，
則△ABD中，∠BAD為直角，
由△BCA∽△BAD，即有

BC

BA

=

BA

BD

=

CA

AD

，則BD=

BA2

BC

=

25

4

，則D的坐標為（

25

4

-3，0）即（

13

4

，0）；
（2）假設存在這樣的m，使得△BPQ與△BDA相似．
則

BP

BD

=

PQ

DA

=

BQ

BA

，
由于BP=DQ=m，則

m

25 4

=

PQ

15 4

=

25 4 -m

5

，解得，m=

125

36

，
PQ=

25

12

，滿足BP²=BQ²+PQ²，成立．
故存在這樣的m，且m=

125

36

，使得△BPQ與△BDA相似．

點評：本題考查主要考查三角形的相似的判定和性質，考查運算能力，屬于中檔題．