Question

如圖ABCD是一個直角梯形，其中AB∥DC，AB⊥BC，CD=2BC=2AB=4，過點A作CD的垂線AE，垂足為點E，現(xiàn)將△ADE折起，使二面角D-AE-C的大小是120°．
（1）求證：平面BCD⊥平面CED；
（2）求二面角A-CD-E的大小．

Answer 1

【答案】分析：（1）先證AE⊥平面CED，再利用BC∥AE⇒BC⊥平面CED⇒平面BCD⊥平面CED；
（2）先由已知知道∠CED=120°．再過點E作EF垂直CD且交于點F，則∠AFE是二面角A-CD-E的平面角，然后在△AFE中求出∠AFE即可．
解答：解：（1）證明：因為AE⊥CE，AE⊥DE，CE∩DE=E，所以AE⊥平面CED．
又因為BC∥AE，
∴BC⊥平面CED，BC?面BCD，
∴平面BCD⊥平面CED；（6分）
（2）∵AE⊥CE，AE⊥DE，
∴∠CED為二面角D-AE-C的平面角，
∴∠CED=120°．
過點E作EF垂直CD且交于點F，
連接AF，∵AE⊥平面CED，∴AF在面CED上的射影為EF，得到AF⊥CD，
所以∠AFE是二面角A-CD-E的平面角，（9分）
EF=2sin30°=1，，（11分）
二面角A-CD-E大小是arctan2．（12分）
點評：本題考查平面和平面垂直的判定和性質(zhì)．在證明面面垂直時，其常用方法是在其中一個平面內(nèi)找兩條相交直線和另一平面內(nèi)的某一條直線垂直