Question

（2008•成都三模）如圖1，在平行四邊形ABCD中，AB=1，BD=

2

，∠ABD=90°，E是BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．現(xiàn)將該平行四邊形沿對(duì)角線BD折成直二面角A-BD-C，如圖2所示．
（1）若F、G分別是AD、BC的中點(diǎn)，且AB∥平面EFG，求證：CD∥平面EFG；
（2）當(dāng)圖1中AE+EC最小時(shí)，求圖2中二面角A-EC-B的大小．

Answer 1

分析：（1）通過AB∥平面EFG，證明AB∥EF，然后證明GE∥CD，即可求證CD∥平面EFG；
（2）以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，平行于CD的直線為x軸，BD所在的直線為y軸，AB所在的直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系B-xyz．求出平面AEC的法向量為

n1

，平面BCE的一個(gè)法向量為

n2

，利用cos＜

n1

• 

n2

＞=

n1 • n2

| n1 |•| n2 |

即可求圖2中二面角A-EC-B的大小．

解答：（1）證明：∵AB∥平面EFG，平面ABD∩平面EFG=EF，∴AB∥EF．…（2分）
∵F是AD的中點(diǎn)．∴E是BD中點(diǎn)．
又∵G是BC的中點(diǎn)．∴GE∥CD．
∵CD?平面EFG，∴CD∥平面EFG．…（2分）
（2）解：由圖1可知，當(dāng)AE+EC最小時(shí)，E是BD的中點(diǎn)．
∵平面ABD⊥平面BCD，AB⊥BD，AB⊥平面BCD．
故以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，平行于CD的直線為x軸，BD所在的直線為y軸，AB所在的直線為z軸，
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系B-xyz．
則A（0，0，1），C（1，

2

，0），D（0，

2

，0），E（0，

2

2

，0）；

EA

=（0，-

2

2

，0），

EC

=（0，

2

2

，0）．…（2分）

設(shè)平面AEC的法向量為

n1

=（x₁，y₁，z₁），則

n1 • EA =0   n1 • EC =0

⇒

0•x1- 2 2 y1+1•z1=0，   1•x1+ 2 2 y1+0•z1=0．

解得

x1=-z1   y1= 2 z1

∴平面ACE的一個(gè)法向量為

n1

=（-1，

2

，1）．…（2分）

而平面BCE的一個(gè)法向量為

n2

=（0，0，1）．
∵cos＜

n1

•

n2

＞=

n1 • n2

| n1 |•| n2 |

=

1

(-1)2+( 2 )2+1

=

1

2

，…（2分）
顯然，二面角A-EC-B為銳角，
∴二面角A-EC-B的大小為60°．…（2分）

點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，考查直線與平面平行的證明方法，判定定理與性質(zhì)定理的應(yīng)用，二面角的求法，考查空間想象能力，計(jì)算能力．