Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，AB=AD=2CD=2，側面PAD⊥底面ABCD，且△PAD為等腰直角三角形，∠APD=90°，M為AP的中點．
（Ⅰ）求證：DM∥平面PCB；
（Ⅱ）求直線AD與PB所成角；
（Ⅲ）求三棱錐P-MBD的體積．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意取PB的中點N，連接MN、CN，由中位線和題意證出CDMN是平行四邊形，得到DM∥CN，由線面
平行的判定定理得DM∥平面PCB．
（Ⅱ）由題意取AD的中點G，連接PG、GB、BD，因△PAD是等腰直角三角形，所以PG⊥AD，再由AB=AD，
且∠DAB=60°得BG⊥AD，證出AD⊥平面PGB，即AD⊥PB．
（Ⅲ）利用等體積法，找出其高和底，從而由體積公式求三棱錐P-MBD的體積．

解答：解：（Ⅰ）證明：取PB的中點為N，由于M為AP的中點，
可得MN為△PAB的中位線，故有MN∥AB，且MN=

1

2

AB．
再由AB∥CD，AB=AD=2CD=2，可得MN∥CD，且 MN=CD，
故MNCD為平行四邊形，故有DM∥CN．
而CN?平面PBC，DM?平面PBC，故有DM∥平面PCB．
（Ⅱ）取AD的中點G，連接PG、GB、BD，∵PA=PD，∴PG⊥AD．
∵AB=AD，且∠DAB=60°，∴△ABD是正三角形，∴BG⊥AD，
又∵PG∩BG=G，PG、BG?平面PGB，∴AD⊥平面PGB，∴AD⊥PB，
即AD與PB成的角為90°．
（Ⅲ）三棱錐P-MBD的體積 V_P-MBD=V_B-PMD
=

1

3

•S_△PMD•BG=

1

3

•（

1

2

S_△PAD）•BG=

1

3

×[

1

2

（

1

2

×

2

×

2

）]×

3

=

3

6

．

點評：本題主要考查了線面垂直和平行的判定定理的應用，主要用了中位線和等腰三角形的中線證明線線平行和垂直，用等體積法求棱錐的體積，屬于中檔題．