Question

如圖所示，O為坐標原點，在y軸上截距為2且斜率為k（k＜0）的直線l與拋物線y²=2x交于M、N兩點
（1）求拋物線的焦點F的坐標；
（2）若

OM

•

ON

=0，求直線l的方程；
（3）若點M、N將拋物線分成三段，在含有坐標原點的那一段上求一點P，使得△PMN的面積最大．

Answer 1

分析：（1）由拋物線的標準方程可直接求出拋物線的焦點F的坐標；
（2）令直線l的方程為：y=kx+2，與拋物線方程聯立

y2=2x y=kx+2

消去y得，k²x²+（4k-2）x+4=0，所以有

k2≠0 (4k-2)2-16k2＞0 k＜0

解得k＜0，設M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），則有

x1+x2= 2-4m m2 x1•x2= 4 m2

，由

OM

•

ON

=0得，x₁x₂+y₁y₂=0，從而可求滿足條件的直線l的方程；
（3）所以直線l′與拋物線相切與已知直線l平行，則令l′：y=kx+b，與拋物線方程聯立

y2=2x y=kx+b

，消去y得，k²x²+2（bk-1）x+b²=0，則

k≠0 △=0

⇒b=

1

2k

，進而由

y2=2x y=kx+ 1 2k

消去x得

k

2

y2-y+

1

2k

=0，即可求得點P的坐標．

解答：解：（1）由題意，知p=1，所以拋物線的焦點坐標為：(

1

2

， 0)…（2分）
（2）令直線l的方程為：y=kx+2…（1分）
設M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），

y2=2x y=kx+2

消去y得，k²x²+（4k-2）x+4=0…（1分）

k2≠0 (4k-2)2-16k2＞0 k＜0

解得k＜0…①…（1分）

x1+x2= 2-4m m2 x1•x2= 4 m2

…（1分）
由

OM

•

ON

=0得，x₁x₂+y₁y₂=0
即

4

m2

+8-

8m-4

m

=0，解得m=-1滿足條件①…（1分）
所以直線l的方程為：x+y-2=0…（1分）
（3）所以直線l′與拋物線相切與已知直線l平行，則令l′：y=kx+b…（1分）

y2=2x y=kx+b

…（1分）
消去y得，k²x²+2（bk-1）x+b²=0
由

k≠0 △=0

⇒b=

1

2k

…（1分）
由

y2=2x y=kx+ 1 2k

消去x得

k

2

y2-y+

1

2k

=0（k＜0）
解得y=

1

k

代入y=kx+

1

2k

得x=

1

2k2

，所以P(

1

2k2

，

1

k

)
所求的點P的坐標與直線l的斜率有關，其橫坐標是直線l斜率的平方的兩倍的倒數，縱坐標是直線l斜率的倒數．…（1分）

點評：本題以拋物線為載體，考查拋物線的幾何性質，考查向量知識的運用，考查學生分析解決問題的能力，綜合性強．