Question

如圖所示，O為坐標(biāo)原點，在y軸上截距為2且斜率為k（k＜0）的直線l與拋物線y²=2x交于M、N兩點
（1）求拋物線的焦點F的坐標(biāo)；
（2）若•=0，求直線l的方程；
（3）若點M、N將拋物線分成三段，在含有坐標(biāo)原點的那一段上求一點P，使得△PMN的面積最大．

Answer 1

解：（1）由題意，知p=1，所以拋物線的焦點坐標(biāo)為：…（2分）
（2）令直線l的方程為：y=kx+2…（1分）
設(shè)M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），
消去y得，k²x²+（4k-2）x+4=0…（1分）
解得k＜0…①…（1分）…（1分）
由得，x₁x₂+y₁y₂=0
即，解得m=-1滿足條件①…（1分）
所以直線l的方程為：x+y-2=0…（1分）
（3）所以直線l′與拋物線相切與已知直線l平行，則令l′：y=kx+b…（1分）
…（1分）
消去y得，k²x²+2（bk-1）x+b²=0
由…（1分）
由消去x得（k＜0）
解得代入得x=，所以
所求的點P的坐標(biāo)與直線l的斜率有關(guān)，其橫坐標(biāo)是直線l斜率的平方的兩倍的倒數(shù)，縱坐標(biāo)是直線l斜率的倒數(shù)．…（1分）
分析：（1）由拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程可直接求出拋物線的焦點F的坐標(biāo)；
（2）令直線l的方程為：y=kx+2，與拋物線方程聯(lián)立消去y得，k²x²+（4k-2）x+4=0，所以有
解得k＜0，設(shè)M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），則有，由得，x₁x₂+y₁y₂=0，從而可求滿足條件的直線l的方程；
（3）所以直線l′與拋物線相切與已知直線l平行，則令l′：y=kx+b，與拋物線方程聯(lián)立，消去y得，k²x²+2（bk-1）x+b²=0，則，進(jìn)而由消去x得，即可求得點P的坐標(biāo)．
點評：本題以拋物線為載體，考查拋物線的幾何性質(zhì)，考查向量知識的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，綜合性強(qiáng)．