Question

在x∈[

1

2

，2]上，函數f（x）=x²+px+q與g（x）=

3x

2

+

3

2x

在同一點取得相同的最小值，那么f（x）在x∈[

1

2

，2]上的最大值是（　　）

• A、

  13

  4

• B、4
• C、8
• D、

  5

  4

Answer 1

分析：由于兩函數在同一點出取到相同的最小值，故本題應先從g（x）=

3x

2

+

3

2x

的最值上研究，觀察其形式可以看出，可以用基本不等式求最小值，由此得到函數f（x）=x²+px+q在x∈[

1

2

，2]上的最小值，由此得出參數p，q的關系，求出兩個參數的值，問題得到求解．

解答：解：∵在x∈[

1

2

，2]上，g（x）=

3x

2

+

3

2x

≥3，當且僅當x=1時等號成立
∴在x∈[

1

2

，2]上，函數f（x）=x²+px+q在x=1時取到最小值3，
∴

- p 2 =1 1+p+q=3

解得p=-2，q=4
∴f（x）=x²-2x+4=（x-1）²+4，
∴當x=2時取到最大值4
故選B

點評：本題考點是函數的最值及其幾何意義，考查了基本不等式求最值與二次函數求最值，利用基本不等式求最值要注意等號成立的條件，及相關兩項的符號．本題中兩個求最值的方法在高中階段應用都很廣泛，注意總結此兩種求最值方法的規律．