Question

設0≤a≤π，不等式8x²-（8sina）x+cos2a≥0對于x屬于一切實數恒成立，則a的取值范圍是

[0，

π

6

]∪[

5π

6

，π]

．

Answer 1

分析：根據題意，利用二次函數的性質，可將不等式恒成立等價于△≤0，列出關于a的不等式，利用三角函數的二倍角公式和三角函數的性質，求解不等式即可得到a的取值范圍．

解答：解：∵不等式8x²-（8sina）x+cos2a≥0對于x屬于一切實數恒成立，
∴△=（-8sina）²-4×8×cos2a≤0，
∴64sin²a-32cos2a≤0，即2sin²a-cos2a≤0，
∴1-2cos2a≤0，即cos2a≥

1

2

，
∴-

π

3

+2kπ≤2a≤

π

3

+2kπ，
∴-

π

6

+kπ≤a≤

π

6

+kπ，
又∵0≤a≤π，
∴0≤a≤

π

6

或

5π

6

≤a≤π，
∴a的取值范圍是[0，

π

6

]∪[[

5π

6

，π]．
故答案為：[0，

π

6

]∪[[

5π

6

，π]．

點評：本題考查了不等式恒成立問題，對于不等式恒成立問題一般選用參變量分離法、最值法、數形結合法求解．對于二次函數問題特別要注意對開口方向和對稱軸以及判別式的研究．本題解題過程中考查了三角函數的求解．屬于中檔題．