Question

【題目】已知函數.

（1）討論的單調性；

（2）若函數在有兩個零點，求m的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）答案不唯一，具體見解析（2）

【解析】

（1）首先求出函數的導函數因式分解為，再對參數分類討論可得；

（2）依題意可得，當函數在定義域上單調遞增，不滿足條件；

當時，由（1）得在為增函數，因為，.再對，，三種情況討論可得.

解：（1）因為，所以，

即.

由，得，.

①當時，，當且僅當時，等號成立.

故在為增函數.

②當時，，

由得或，由得；

所以在，為增函數，在為減函數.

③當時，，

由得或，由得；

所以在，為增函數，在為減函數.

綜上，當時，在為增函數；

當時，在，為增函數，在為減函數；

當時，在，為增函數，在為減函數.

（2）因為，所以，

①當時，，在為增函數，所以在至多一個零點.

②當時，由（1）得在為增函數.

因為，.

（ⅰ）當時，，時，，時，；

所以在為減函數，在為增函數，.

故在有且只有一個零點.

（ⅱ）當時，，，，使得，

且在為減函數，在為增函數.

所以，又，

根據零點存在性定理，在有且只有一個零點.

又在上有且只有一個零點0.

故當時，在有兩個零點.

（ⅲ）當時，，，，使得，

且在為減函數，在為增函數.

因為在有且只有一個零點0，

若在有兩個零點，則在有且只有一個零點.

又，所以即，所以，

即當時在有兩個零點.

綜上，m的取值范圍為