Question

在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若

AB

•

AC

=

BA

•

BC

（1）判斷△ABC的形狀；
（2）若

AB

•

AC

=k(k∈R)，且c=

2

，求k的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則化簡已知的等式，兩邊同時(shí)除以c后，利用正弦定理變形，再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡，由A和B都為三角形的內(nèi)角，得到A-B的范圍，進(jìn)而得到A與B的度數(shù)相等，即可得到三角形為等腰三角形；
（2）由（1）得到的A=B，根據(jù)等角對(duì)等邊得到a=b，利用余弦定理表示出cosA，把a(bǔ)=b代入表示出cosA的值，再利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則表示出

AB

•

AC

，把表示出的cosA及c的值代入即可求出k的值．

解答：解：（1）由

AB

•

AC

=

BA

•

BC

知：
bccosA=accosB，即bcosA=acosB，（2分）
由正弦定理得sinAcosB-cosAsinB=0，即sin（A-B）=0，（5分）
又∵-π＜A-B＜π，
∴A-B=0，即A=B，
故△ABC為等腰三角形；（7分）
（2）由（1）可知a=b，且

AB

•

AC

=bccosA，
由余弦定理得：cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

c2

2bc

，
∴

AB

•

AC

=

c2

2

，（10分）
∴k=

c2

2

=1．（12分）

點(diǎn)評(píng)：此題考查了三角形形狀的判斷，涉及的知識(shí)有平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，正弦定理，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，以及余弦定理，熟練掌握公式及定理是解本題的關(guān)鍵．