Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓：過(guò)點(diǎn)，，為橢圓的左、右焦點(diǎn)，離心率為，圓的直徑為.

（1）求橢圓及圓的方程；

（2）設(shè)直線(xiàn)與圓相切于第一象限內(nèi)的點(diǎn).

①若直線(xiàn)與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

②若直線(xiàn)與橢圓交于，兩點(diǎn)，且的面積為，求直線(xiàn)的方程.

Answer 1

【答案】（1）橢圓:;圓:（2）① ,②

【解析】

（1）根據(jù)橢圓所過(guò)定點(diǎn)及離心率,結(jié)合橢圓中的關(guān)系,即可求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;求得圓的圓心和半徑,即可得圓的方程.

（2）①根據(jù)橢圓與圓的位置關(guān)系,可知當(dāng)直線(xiàn)與圓相切于第一象限內(nèi)的點(diǎn),且直線(xiàn)與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí),直線(xiàn)的斜率必小于0.設(shè)出直線(xiàn)方程,由直線(xiàn)與圓相切及點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式,可得與的等量關(guān)系.聯(lián)立直線(xiàn)方程與橢圓方程,由一個(gè)交點(diǎn)時(shí)可得與的等量關(guān)系.建立方程組可得與的值,即可求得直線(xiàn)方程.將直線(xiàn)方程與圓的方程聯(lián)立,即可求得切點(diǎn)坐標(biāo).

②設(shè),將直線(xiàn)方程與橢圓方程聯(lián)立,可得,,由兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)可求得的取值范圍.利用弦長(zhǎng)公式表示出,由點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式表示出到直線(xiàn)的距離.結(jié)合的面積為即可得與的等量關(guān)系.解方程求得與的值,即可求得直線(xiàn)方程.

（1）橢圓：過(guò)點(diǎn),離心率

所以,解方程組可得

故橢圓的方程為

圓的直徑為,則圓心為,半徑為

所以圓的方程為

（2）①橢圓的方程為,圓的方程為,如下圖所示:

直線(xiàn)與圓相切于第一象限內(nèi)的點(diǎn),且直線(xiàn)與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn),

所以直線(xiàn)與橢圓也相切,且切點(diǎn)在第一象限,切點(diǎn)的縱坐標(biāo)小于點(diǎn)的縱坐標(biāo)

因而直線(xiàn)的斜率小于0

設(shè)直線(xiàn)的方程為,即

因?yàn)橹本�(xiàn)與圓相切,則圓心到直線(xiàn)的距離為圓的半徑,即,

化簡(jiǎn)可得

因?yàn)橹本�(xiàn)與橢圓也相切,則

化簡(jiǎn)可得

則

解得

所以

解得,(舍)

則

所以直線(xiàn)的方程為

則,化簡(jiǎn)可得

解得

所以切點(diǎn)的坐標(biāo)為

②直線(xiàn)與橢圓交于,兩點(diǎn),設(shè)

聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓,則

化簡(jiǎn)可得

則

由題意可知

化簡(jiǎn)解不等式可得

由弦長(zhǎng)公式可得

由點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式可知到直線(xiàn)的距離

則

將,即代入可解得

即,(舍),則

所以直線(xiàn)的方程為