【題目】如圖，等邊三角形
所在平面與梯形
所在平面互相垂直，且有
，
，
.
（1）證明：平面
平面；
（2）求二面角
的余弦值.
【答案】（1）詳見解析；（2）
.
【解析】
（1）由平面幾何知識可得
，再由面面垂直的性質定理得
平面
，最后由面面垂直的判定定理得結論；
（2）取
中點為
，可得
，從而有
平面
，以
為原點，
為
軸建立空間直角坐標系(如圖)，寫出各點坐標，求出平面
和平面
的法向量，利用法向量的夾角得出二面角（注意二面角是銳角還是鈍角）.
（1）證明：取
中點
，連接
，
則四邊形
為菱形，即有
，
所以.
又
平面，
平面
平面，
平面
平面
，
∴平面，
又平面
，
∴平面
平面.
（2）由（1）可得
，
取中點，連接
，則，
，
又
平面，
平面
平面，
平面
平面
，
∴平面.
以為原點建系如圖，則
，
，
，
，
，
，
，
設平面的法向量為
，則
，取
，得
.
設平面的法向量為
，則
，取，
，
.
∴二面角
的余弦值為.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】定義在D上的函數
，如果滿足：對任意
，存在常數
，都有
成立，則稱是D上的有界函數，其中M稱為函數的上界
已知函數
當
，求函數在
上的值域，并判斷函數在上是否為有界函數，請說明理由；
若函數在
上是以3為上界的有界函數，求實數a的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某集團公司為了加強企業管理，樹立企業形象，考慮在公司內部對遲到現象進行處罰.現在員工中隨機抽取200人進行調查，當不處罰時，有80人會遲到，處罰時，得到如下數據：
處罰金額 | 50 | 100 | 150 | 200 |
遲到的人數 | 50 | 40 | 20 | 0 |
若用表中數據所得頻率代替概率.
（Ⅰ）當處罰金定為100元時，員工遲到的概率會比不進行處罰時降低多少？
（Ⅱ）將選取的200人中會遲到的員工分為
，
兩類：類員工在罰金不超過100元時就會改正行為；類是其他員工.現對類與類員工按分層抽樣的方法抽取4人依次進行深度問卷，則前兩位均為類員工的概率是多少？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知四棱錐
的底面
為菱形，且
，
，
，
與
相交于點
.
（1）求證：
底面；
（2）求直線
與平面
所成的角
的值；
（3）求平面與平面
所成二面角
的值.（用反三角函數表示）
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系
中，橢圓
：
過點
，
，
為橢圓的左、右焦點，離心率為
，圓
的直徑為
.
（1）求橢圓及圓的方程；
（2）設直線
與圓相切于第一象限內的點
.
①若直線與橢圓有且只有一個公共點，求點的坐標；
②若直線與橢圓交于
，
兩點，且
的面積為
，求直線的方程.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓C：
（
）的長軸長是短軸長的2倍，左焦點為
.
（1）求C的方程；
（2）設C的右頂點為A，不過C左、右頂點的直線l：
與C相交于M，N兩點，且
.請問：直線l是否過定點？如果過定點，求出該定點的坐標；如果不過定點，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的左、右焦點為
，
，長軸端點為
，
，
為橢圓中心，
，斜率為
的直線
與橢圓
交于不同的兩點，這兩點在
軸上的射影恰好是橢圓的兩個焦點.
（1）求橢圓的方程；
（2）若拋物線
上存在兩個點
，
，橢圓上存在兩個點
，
，滿足，，三點共線，，，三點共線，且
，求四邊形
面積的最小值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】己知函數
（1）當
時，設函數
，求函數
的單調區間和極值；
（2）設
是
的導函數，若
對任意的
恒成立，求
的取值范圍；
（3）設函數
，當
時，求
在區間
上的最大值和最小值.
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