Question

一個幾何體的三視圖如下圖所示,其中正視圖和側視圖是腰長為6的兩個全等的等腰直角三角形.

(1)請畫出該幾何體的直觀圖,并求出它的體積.

(2)用多少個這樣的幾何體可以拼成一個棱長為6的正方體ABCD—A₁B₁C₁D₁？如何組拼？試證明你的結論.

(3)在(2)的情形下,設正方體ABCD—A₁B₁C₁D₁的棱CC₁的中點為E,求面AB₁E與面ABC所成二面角的余弦值.

Answer 1

解:(1)該幾何體的直觀圖如圖(1)所示,它是有一條側棱垂直于底面的四棱錐.其中底面ABCD是邊長為6的正方形,高為CC₁=6,故所求體積是V=×6²×6=72.

(1)

(2)依題意,正方體的體積是原四棱錐體積的3倍,故用3個這樣的四棱錐可以拼成一個棱長為6的正方體,其拼法如圖(2)所示.

(2)

證明:∵面ABCD、面ABB₁A₁、面AA₁D₁D為全等的正方形,

于是==.

故所拼圖形成立.

(3)方法一:設B₁E,BC的延長線交于點G,連結GA,在底面ABC內作BH⊥AG,垂足為H,連結HB₁,則B₁H⊥AG,故∠B₁HB為平面AB₁E與平      面ABC所成二面角或其補角的平面角.

在Rt△ABG中,AG=,則BH==,

B₁H==,cos∠B₁HB==,

故面AB₁E與面ABC所成二面角的余弦值為.

方法二:以C為原點,CD、CB、CC₁所在直線分別為x、y、z軸建立直角坐標系(如圖(3)),

(3)

∵正方體棱長為6,則E(0,0,3),B₁(0,6,6),A(6,6,0).

設向量n=(x,y,z),滿足n⊥EB₁,n⊥AB₁,

于是解得

取z=2,得n=(2,-1,2).又=(0,0,6),cos〈n,〉===,

根據圖形:面AB₁E與面ABC所成二面角的余弦值為.