Question

已知

a

=（

3

cosx，cosx-1），

b

=（sinx，cosx+1），函數f（x）=

a

•

b

+

1

2

（x∈R）
（1）求函數f（x）的周期；
（2）函數f（x）的圖象可由函數y=sinx的圖象經過怎樣的變換得到？

Answer 1

分析：（1）由

a

=（

3

cosx，cosx-1），

b

=（sinx，cosx+1），函數f（x）=

a

•

b

+

1

2

（x∈R），知f（x）=sin（2x+

π

6

），由此能求出f（x）的最小正周期．
（2）把y=sinx的圖象上所有的點向左平移

π

6

個單位，再把得到函數的圖象上所有的點的橫坐標變為原來的

1

2

（縱坐標不變），得到函數y=sin（2x+

π

6

）的圖象．

解答：解：（1）∵

a

=（

3

cosx，cosx-1），

b

=（sinx，cosx+1），函數f（x）=

a

•

b

+

1

2

（x∈R），
∴f（x）=

3

cosxsinx+（cosx-1）（cosx+1）+

1

2

=

3

cosxsinx+cos2x-1+

1

2

=

3

2

sin2x+

1+cos2x

2

-

1

2

=

3

2

sin2x+

1

2

cos2x
=sin（2x+

π

6

），
∴f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π．
（2）把y=sinx的圖象上所有的點向左平移

π

6

個單位，
得到函數y=sin（x+

π

6

）的圖象，
再把y=sin（x+

π

6

）的圖象上所有的點的橫坐標變為原來的

1

2

（縱坐標不變），
得到函數y=sin（2x+

π

6

）的圖象．（12分）

點評：本題考查三角函數恒等變換的應用，考查三角函數圖象的平移變換，解題時要認真審題，仔細解答．