Question

已知p：2x2-9x+a＜0，q：

x2-4x+3＜0 x2-6x+8＜0

，且q是p的充分條件，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：解不等式組可得q：2＜x＜3，由q是p的充分條件可得當x∈（2，3）時，2x²-9x+a＜0恒成立，構造函數f（x）=2x²-9x+a，由其性質可得

f(2)≤0 f(3)≤0

，解之即可．

解答：解析：由不等式x²-4x+3＜0解得1＜x＜3，由x²-6x+8＜0可解得2＜x＜4，
取交集可得2＜x＜3，即q：2＜x＜3，…（2分）
∵q是p的充分條件，∴x∈（2，3）時，2x²-9x+a＜0恒成立…（4分）
記f（x）=2x²-9x+a，其圖象是一個開口向上的拋物線，對稱軸為x=

9

4

…（6分）
故只需

f(2)≤0 f(3)≤0

，即

8-18+a≤0 18-27+a≤0

…（10分）
解得a≤9，即a的取值范圍是（-∞，9]…（12分）

點評：本題以充要條件為載體，考查二次函數的恒成立問題，正確處理二次函數問題是解決問題的關鍵，屬基礎題．