Question

已知正項數列滿足4S_n=（a_n+1）²．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設b_n=

1

anan+1

，求數列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

（Ⅰ）∵4S_n=（a_n+1）²．
∴當n≥2時，4S_n-1=（a_n-1+1）²．
兩式相減可得，4（s_n-s_n-1）=(an+1)2-(an-1+1)2
即4a_n=(an+1)2-(an-1+1)2
整理得a_n-a_n-1=2              …（4分）
又a₁=1
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1 …（6分）
（Ⅱ） 由（1）知  bn=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)…（8分）
所以Tn=

1

2

(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

)=

1

2

(1-

1

2n+1

)=

n

2n+1

            …（12分）