Question

【題目】如圖，在四棱錐中，平面，，，，點是與的交點，點在線段上，且.

（1）證明：平面；

（2）求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】分析：（1）由題意得是等邊三角形，故得，于是，從而得，所以，然后根據線面平行的判定定理可得結論成立．（2）由平面可得，于是平面．又，所以直線與平面所成角即直線與平面所成角，從而得到即為所求角，然后根據解三角形可得所求．

詳解：（1）因為，

所以垂直平分線段．

又，

所以．

在中，由余弦定理得

，

所以．

又，

所以是等邊三角形，

所以，

所以，

又因為，

所以，

所以．

又平面平面，

所以平面．

（2）因為平面，平面，

所以，

又，

所以平面．

由（1）知，

所以直線與平面所成角即直線與平面所成角，

故即為所求的角．

在中，，

所以，

所以直線與平面所成角的正弦值為．