Question

【題目】已知， ．

（Ⅰ）討論函數的單調性；

（Ⅱ）記表示m，n中的最大值，若，且函數恰有三個零點，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ），當時，的單減區間為；當時，的單減區間為和，單增區間為．（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）對求導，得到，然后分和，分別要求的正負，從而得到的單調區間；（Ⅱ）分和進行討論，當時，可知證明至多有兩個零點，不合題意，當時，先得出關于對稱，所以要有3個零點，則必須在上取到2個零點，得到關于的不等式組，解出的范圍，得到答案.

解：（Ⅰ）的定義域為R，

．

①當時，，所以的單減區間為；

②當時，令，得，

令，得，

綜上得，當時，的單減區間為；

當時，的單減區間為和，單增區間為．

（Ⅱ），

的唯一一個零點是，∴，

由（1）可得：（ⅰ）當時，的單減區間為，

此時至多有兩個零點，不符合題意

（ⅱ）當時，令，

則的圖象關于點對稱，

即的圖象關于中心對稱，

注意到在上恒正，

要有3個零點，則必須在上取到2個零點，

如圖，

∴極大值，且

則有

，

綜上，．