Question

已知函數f（x）=-x³+kx²+5x+1，g（x）=-lnx+kx，其中k∈R．
（Ⅰ）當k=1時，求函數f（x）的極值；
（Ⅱ）若關于x的方程f（x）=0在區間（1，2）上有解，求實數k的取值范圍；
（Ⅲ）設函數q(x)=

f(x)，x≤0 g(x)，x＞0

，是否存在正實數k，使得對于函數q（x）上任一點（橫坐標不為0），總能找到另外惟一一點使得在這兩點處切線的斜率相等？若存在，求k的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先對函數求導，再令導函數為零，解得函數極值點，最后用單調性進行驗證即可
（Ⅱ）先判斷函數的連續性，再利用零點存在性理論，解不等式即可
（Ⅲ）先求出函數q(x)=

f(x)，x≤0 g(x)，x＞0

兩段上的導函數，由導數的幾何意義，研究導函數的函數值，再畫出導函數的圖象，數形結合解決問題

解答：解：（Ⅰ）對函數f（x）=-x³+kx²+5x+1求導，得，f′（x）=-3x²+2kx+5，
當k=1時，函數f（x）=）=-x³+x²+5x+1，f′（x）=-3x²+2x+5，
令f′（x）=0，即-3x²+2x+5=0，解得，x=-1或x=

5

3

，
當x∈（-∞，-1）時，f′（x）＜0，當x∈（-1，

5

3

）時，f′（x）＜0
當x∈（

5

3

，+∞）時，f′（x）＜0，
∴當x=-1函數f（x）有極小值為f（-1）=-2
當x=

5

3

函數f（x）有極大值為f（

5

3

）=

202

27

（Ⅱ）∵f（x）=-x³+kx²+5x+1為（1，2）上的連續函數，
∴f（x）=0在區間（1，2）上有解?f（1）×f（2）＜0
由f（1）×f（2）=（-1+k+6）（-8+4k+11）=（k+5）（4k+3）＜0
得-5＜k＜-

3

4

∴實數k的取值范圍為-5＜k＜-

3

4

（Ⅲ）
∵f′（x）=-3x²+2kx+5，g′（x）=

kx-1

x

∵k＞0，兩個導函數的圖象如圖
由圖象可知，當且僅當k=5時，函數q（x）上任一點（橫坐標不為0），總能找到另外惟一一點使得在這兩點處切線的斜率相等，
∴k=5

點評：本題綜合考察了導數的應用，特別是函數極值的求法和導數幾何意義的應用，解題時要靈活運用數形結合思想、分類討論思想，提高解題效率