Question

（2010•肇慶二模）已知函數f(x)=

1

4

x4+

1

3

ax3+2x2+b．
（1）若函數f（x）僅有一個極值點x=0，求實數a的取值范圍；
（2）若對任意的a∈[-1，1]，不等式f（x）≤0當x∈[-1，1]時恒成立，求實數b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）可以求出函數的導數，利用導數研究知x²+ax+4≥0恒成立，求出a的取值范圍即可．
（2）對任意的a∈[-1，1]，不等式f（x）≤0當x∈[-1，1]時恒成立，利用函數的單調性．通過

f(1)≤0 f(-1)≤0

求出b的范圍．

解答：解：（1）f′（x）=x³+ax²+4x=x（x²+ax+4），（2分）
依題意知x²+ax+4≥0恒成立．    （3分）
故實數a的取值范圍是[-4，4]．   （5分）
（2）因為當a∈[-1，1]時，△=a²-16＜0，
所以x²+ax+4＞0．（6分）
于是當x＜0時，f′（x）＜0；當x＞0時，f′（x）＞0；（7分）
所以f（x）在[-1，0]為減函數，在[0，1]上為增函數．   （8分）
要使f（x）≤0在x∈[-1，1]上恒成立，
只需滿足

f(1)= 1 4 + a 3 +2+b≤0 f(-1)= 1 4 - a 3 +2+b≤0

（10分）
即

b≤- a 3 - 9 4 b≤ a 3 - 9 4

（12分）
故實數b的取值范圍是(-∞，-

31

12

]．（14分）

點評：本題考查函數的導數及其應用，求函數的極值，判斷函數取得極值的條件以及應用，利用導數研究含一個參數a的函數的單調區間問題，考查了分類討論思想．