Question

設曲線y=xⁿ⁺¹（n∈N^*）在點（1，1）處的切線與x軸的交點的橫坐標為x_n，則x₁•x₂•…•x_n的值為    ．

Answer 1

【答案】分析：本題考查的主要知識點是導數的應用，由曲線y=xⁿ⁺¹（n∈N^*），求導后，不難得到曲線y=xⁿ⁺¹（n∈N^*）在點（1，1）處的切線方程，及與x軸的交點的橫坐標為x_n，分析其特點，易得x₁•x₂•…•x_n的值．
解答：解：對y=xⁿ⁺¹（n∈N^*）求導得y′=（n+1）xⁿ，
令x=1得在點（1，1）處的切線的斜率k=n+1，
在點（1，1）處的切線方程為y-1=k（x_n-1）=（n+1）（x_n-1），
不妨設y=0，x_n=
則x₁•x₂•…•x_n=×××…××=．
故答案為：
點評：當題目中遇到求曲線C在點A（m，n）點的切線方程時，其處理步驟為：①判斷A點是否在C上②求出C對應函數的導函數③求出過A點的切線的斜率④代入點斜式方程，求出直線的方程．