Question

用長為90cm，寬為48cm的長方形鐵皮做一個無蓋的容器，先在四角分別截去一個小正方形，然后把四邊翻轉90°角，再焊接而成（如圖），問該容器的高為多少時，容器的容積最大？最大容積是多少？

Answer 1

【答案】分析：首先分析題目求長為90cm，寬為48cm的長方形鐵皮做一個無蓋的容器當容器的高為多少時，容器的容積最大．故可設容器的高為x，體積為V，求出v關于x的方程，然后求出導函數，分析單調性即可求得最值．
解答：解：根據題意可設容器的高為x，容器的體積為V，
則有V=（90-2x）（48-2x）x=4x³-276x²+4320x，（0＜V＜24）
求導可得到：V′=12x²-552x+4320
由V′=12x²-552x+4320=0得x₁=10，x₂=36．
所以當x＜10時，V′＞0，
當10＜x＜36時，V′＜0，
當x＞36時，V′＞0，
所以，當x=10，V有極大值V（10）=1960，又V（0）=0，V（24）=0，
所以當x=10，V有最大值V（10）=1960
故答案為當高為10，最大容積為1960．
點評：此題主要考查函數求最值在實際問題中的應用，其中涉及到由導函數分類討論單調性的思想，在高考中屬于重點考點，同學們需要理解并記憶．