Question

9、用長為90cm，寬為48cm的長方形鐵皮做一個無蓋的容器，先在四角分別截去一個大小相同的小正方形，然后把四邊翻轉90°角，再焊接而成（如圖），當容器的容積最大時，該容器的高為（　　）

A、8cm

B、9cm

C、10cm

D、12cm

Answer 1

分析：設容器的高為xcm，得容器的容積為V（x）與x之間的關系，為三次函數，求導，利用函數的單調性求出函數的最值．

解答：解：設容器的高為xcm，容器的容積為V（x）cm³，則
V（x）=（90-2x）（48-2x）x=4x³-276x²+4320x（0＜x＜24），
∵V′（x）=12x²-552x+4320，
由12x²-552x+4320=0得x=10或x=36（舍），
∵當0＜x＜10時，V′（x）＞0，當10＜x＜24時，V′（x）＜0，
∴當x=10時，V（x）在區間（0，24）內有唯一極大值，
∴容器高x=10cm時，容器容積V（x）最大．
故選C．

點評：本題考查導數在最大值問題中的應用，會利用導數研究函數的單調區間以及根據函數的增減性得到函數的最值，若f（a）=0：a的左側f'（x）＞0，a的右側f'（x）＜0，則a是極大值點．