設曲線y＝
＋
bx2＋cx在點A(x，y)處的切線斜率為k(x)，且k(－1)＝0．對一切實數x，不等式x≤k(x)≤
(x2＋1)恒成立(a≠0)．
(1)求k(1)的值；
(2)求函數k(x)的表達式；
(3)求證：
＞
津橋教育計算小狀元系列答案科目：高中數學 來源：101網校同步練習 高三數學 蘇教版(新課標·2004年初審) 蘇教版 題型：038
設函數y＝ax3＋bx2＋cx＋d的圖象與y軸交點為P點，且曲線在P點處的切線方程為12x－y－4＝0．若函數在x＝2處取得極值0，試確定函數的解析式．
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科目：高中數學 來源：北京市海淀區2008－2009學年度高三年級第一學期期中練習數學文科 題型：044
設函數f(x)＝x3＋bx2＋cx＋5，且曲線y＝f(x)在點(0，f(0))處的切線與x軸平行．
(1)求實數c的值；
(2)判斷是否存在實數b，使得方程f(x)－b2x＝0恰有一個實數根．若存在，求b的取值范圍；若不存在，請說明理由．
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科目：高中數學 來源：2011-2012學年河北省高三8月月考理科數學試卷（解析版） 題型：解答題
已知函數f(x)＝ax3＋bx2＋cx在x＝±1處取得極值，且在x＝0處的切線的斜率為－3.
(1)求f(x)的解析式；
(2)若過點A(2，m)可作曲線y＝f(x)的三條切線，求實數m的取值范圍．
【解析】本試題主要考查了導數在研究函數中的運用。第一問，利用函數f(x)＝ax3＋bx2＋cx在x＝±1處取得極值，且在x＝0處的切線的斜率為－3，得到c＝－3 ∴a＝1, f(x)＝x3－3x
(2)中設切點為(x0，x03－3x0)，因為過點A(2，m)，所以∴m－(x03－3x0)＝(3x02－3)(2－x0)分離參數∴m＝－2x03＋6x02－6
然后利用g(x)＝－2x3＋6x2－6函數求導數，判定單調性，從而得到要是有三解，則需要滿足－6<m<2
解：(1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋c
依題意
又f′(0)＝－3
∴c＝－3 ∴a＝1 ∴f(x)＝x3－3x
(2)設切點為(x0，x03－3x0)，
∵f′(x)＝3x2－3，∴f′(x0)＝3x02－3
∴切線方程為y－(x03－3x0)＝(3x02－3)(x－x0)
又切線過點A(2，m)
∴m－(x03－3x0)＝(3x02－3)(2－x0)
∴m＝－2x03＋6x02－6
令g(x)＝－2x3＋6x2－6
則g′(x)＝－6x2＋12x＝－6x(x－2)
由g′(x)＝0得x＝0或x＝2
∴g(x)在(－∞，0)單調遞減，(0,2)單調遞增，(2，＋∞)單調遞減．
∴g(x)極小值＝g(0)＝－6，g(x)極大值＝g(2)＝2
畫出草圖知，當－6<m<2時，m＝－2x3＋6x2－6有三解，
所以m的取值范圍是(－6,2)．
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科目：高中數學 來源： 題型：單選題
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恒成立可得
，
(1)＝1
，由
，解得
恒成立得：
且
，即有
，
，即
，
，
恒成立，解得
＞
，即證
＞
＞
，
時，左邊＝1，右邊＝
，不等式成立；
時，不等式成立，
＞
成立，
時，左邊＝
得
