Question

3．如圖，在△ABC中，M是邊BC的中點，tan∠BAM=$\frac{\sqrt{3}}{5}$，cos∠AMC=-$\frac{2\sqrt{7}}{7}$
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若角∠BAC=$\frac{π}{6}$，BC邊上的中線AM的長為$\sqrt{7}$，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由鄰補角定義及誘導公式得到cos∠AMC=-cos∠AMB，求出cos∠AMB的值，利用同角三角函數間的基本關系求出tan∠AMB的值，再利用誘導公式求出tanB的值，即可確定出B的大小；
（Ⅱ）由三角形內角和定理及等角對等邊得到AB=BC，設BM=x，則AB=BC=2x，利用余弦定理列出方程，求出方程的解得到x的值，確定出AB與BC的值，再利用三角形面積公式求出三角形ABC面積即可．

解答 解：（Ⅰ）由題意可知∠AMB+∠AMC=π，
又cos∠AMC=-$\frac{2\sqrt{7}}{7}$，
∴cos∠AMB=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$，sin∠AMB=$\frac{\sqrt{21}}{7}$，tan∠AMB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴tanB=-tan（∠BAM+∠BMA）=-$\frac{tan∠BAM+tan∠BMA}{1-tan∠BAM•tan∠BMA}$=-$\frac{\frac{\sqrt{3}}{5}+\frac{\sqrt{3}}{2}}{1-\frac{\sqrt{3}}{5}×\frac{\sqrt{3}}{2}}$=-$\sqrt{3}$，
又B∈（0，π），
∴B=$\frac{2π}{3}$；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知∠B=$\frac{2π}{3}$，且∠BAC=$\frac{π}{6}$，
∴∠C=$\frac{π}{6}$，即∠BAC=∠C，
∴AB=BC，
設BM=x，則AB=2x，
在△AMB中，由余弦定理得AM²=AB²+BM²-2AB•BM•cosB，即7=4x²+x²+2x²，
解得：x=1（負值舍去），
∴AB=BC=2，
則S_△ABC=$\frac{1}{2}$•4•sin$\frac{2π}{3}$=$\sqrt{3}$．

點評 此題考查了余弦定理，三角形面積公式，誘導公式，以及同角三角函數間的基本關系，熟練掌握余弦定理是解本題的關鍵．