Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的右焦點為F，準線方程為x=±

4 3

3

，點P(

3

，y0)在橢圓C上且|PF|=

1

2

．
（I）求橢圓C的方程； 
（II）已知圓O：x²+y²=1的一條切線與橢圓C相交于A、B兩點，且切線AB與圓D的切點Q在y軸右側，求△AQF周長的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）題目給出了橢圓的準線方程，則有

a2

c

=

4 3

3

，給出了點P的橫坐標可求點P到右準線的距離，又給出了點P到右焦點的距離，則可得到橢圓的離心率，由準線方程和離心率的值聯立可求a、b、c，則橢圓方程可求；
（Ⅱ）設出圓的切線與橢圓的一個交點A，在直角三角形OQA中把|AQ|用A到原點距離與圓的半徑表示，結合點A在橢圓上把
|AQ|化簡，由焦半徑公式表示出|AF|，可求得|AQ|+|AF|為定值，要使△AQF的周長最小，則只要|QF|最小即可，顯然當Q是圓與x軸的交點時|QF|最小，則最小值可求．

解答：解：（Ⅰ）由準線方程得

a2

c

=

4 3

3

①，因為點P的橫坐標為

3

，所以點P到右準線的距離為

4 3

3

-

3

=

3

3

，
又P點到右焦點的距離|PF|=

1

2

，所以

c

a

=

1 2

3 3

=

3

2

②，聯立①②得，a=2，c=

3

，又b²=a²-c²，∴b=1．
故橢圓C的方程為

x2

4

+y2=1；
（Ⅱ）如圖，

設點A（x₀，y₀），則|AQ|=

|AO|2-1

=

x02+y02-1

，
又由于點A在橢圓上，則

x02

4

+y02=1，所以x02+y02-1=

3

4

x02，
所以|AQ|=

3 4 x02

=

3

2

x0  （x₀＞0，因為切點Q在y軸右側），
令由焦半徑公式可得|AF|=2-

3

2

x0，
于是|AQ|+|AF|=

3

2

x0+2-

3

2

x0=2．
要使△AQF的周長最小，則只要|QF|最小即可，
顯然當Q的坐標為（1，0）時，|QF|最短，為

3

-1．
所以，△AQF周長的最小值為2+

3

-1=

3

+1．

點評：本題考查了橢圓的簡單幾何性質，考查了直線與橢圓的關系，采用了設而不求的方法，運用了整體運算思想，求三角形面積最小值時運用了數學轉化思想，題目綜合考查了學生綜合思維能力和靈活計算能力，屬難題．