Question

16．已知向量$\overrightarrow{a}$=（2cosωx，1），$\overrightarrow{b}$=（2sin（ωx+$\frac{2π}{3}$），-$\sqrt{3}$），函數f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$的最小正周期為π．
（1）求f（x）在[-π，π]上的單調增區(qū)間；
（2）若存在x∈[0，$\frac{π}{6}$]，使f（x-$\frac{π}{4}$）＞|m-2|成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用向量的數量積以及兩角和與差的三角函數化簡函數的表達式為一個角的一個三角函數的形式，利用余弦函數的單調增區(qū)間求出函數的單調增區(qū)間，即可求函數f（x）在[-π，π]上的單調遞增區(qū)間；
（2）由題意：存在x∈[0，$\frac{π}{6}$]，使f（x-$\frac{π}{4}$）＞|m-2|，等價于f（x-$\frac{π}{4}$）_max＞|m-2|成立，只需要求f（x-$\frac{π}{4}$）_max的值即可通過解不等式得到m的取值的范圍．

解答 解：（1）向量$\overrightarrow{a}$=（2cosωx，1），$\overrightarrow{b}$=（2sin（ωx+$\frac{2π}{3}$），-$\sqrt{3}$），
∴f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=4cosωxsin（ωx+$\frac{2π}{3}$）-$\sqrt{3}$
化簡得：f（x）=4cosωx（sinωxcos$\frac{2π}{3}$+cosωxsin$\frac{2π}{3}$）-$\sqrt{3}$
=-2sinωxcosωx+2$\sqrt{3}$cos²ωx-$\sqrt{3}$=-sin2ωx+$\sqrt{3}$+$\sqrt{3}$cos2ωx-$\sqrt{3}$=2cos（2ωx+$\frac{π}{6}$）．
∵最小正周期為π，即T=π=$\frac{2π}{2ω}$，解得ω=1
∴f（x）=2cos（2x+$\frac{π}{6}$）
當x∈[-π，π]時，則：2x+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{11π}{6}$，$\frac{13π}{6}$]
由余弦函數圖象可知：[-$\frac{7π}{12}$，-$\frac{π}{12}$]和[$\frac{5π}{12}$，$\frac{11π}{12}$]單調增區(qū)間．
（2）由題意：存在x∈[0，$\frac{π}{6}$]，使f（x-$\frac{π}{4}$）＞|m-2|成立，等價于f（x-$\frac{π}{4}$）_max＞|m-2|成立，
∵f（x）=2cos（2x+$\frac{π}{6}$）
∴f（x-$\frac{π}{4}$）=2cos（2x-$\frac{π}{3}$）
又∵x∈[0，$\frac{π}{6}$]，∴2x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]
那么：f（x-$\frac{π}{4}$）_max=2
所以有：|m-2|＜2，解得：0＜m＜4
故m的取值范圍是（0，4）．

點評 本題主要考查了三角函數的化簡能力以及余弦函數性質的運用，值域的求法來解決恒成立的問題．屬于中檔題．