Question

設橢圓與雙曲線有公共焦點，它們的離心率之和為2，若橢圓方程為25x²+9y²=225，求雙曲線方程．

Answer 1

分析：先根據橢圓的方程求得焦點坐標和離心率，進而可知雙曲線的半焦距，設出雙曲線的標準方程，根據離心率之和求得a，再利用c求得b．答案可得．

解答：解：整理橢圓方程得

x2

9

+

y2

25

=1
∴c₁=

25-9

=4
∴焦點坐標為（0，4）（0，-4），離心率e₁=

4

5

∴設雙曲線方程為

y2

a2

-

x2

b2

=1，
則半焦距c₂=4

4

a

+

4

5

=2，a=

10

3

b=

c2- a2

=

2 11

3

∴雙曲線方程為

y2

100 9

-

x2

44 9

=1

點評：本題主要考查了雙曲線的標準方程．．在求曲線方程的問題中，巧設方程，減少待定系數，是非常重要的方法技巧．特別是具有公共焦點的兩種曲線，它們的公共點同時具有這兩種曲線的性質，解題時要充分注意．